El último teorema de Fermat: un enigma sin solución durante 358 años

El pasado 15 de marzo se entregó el premio Abel, el premio Nobel de matemáticas, a Andrew Wiles por haber confirmado una conjetura matemática cuya validez no había podido ser demostrada desde que se propuso en 1642.

Esta conjetura nació de la mano del jurista y matemático Pierre de Fermat que, mientras leía su copia del libro 'Arithmetica', un texto matemático escrito por Diofanto de Alejandría en el siglo III a.C., en sus márgenes iba anotando problemas y conjeturas que se le ocurrían sobre la marcha. En los siglos que se sucedieron tras su muerte, otros matemáticos fueron abordando y solucionando cada uno de los problemas que Fermat había garabateado… Hasta que sólo quedó uno por resolver:

“No existe ningún número entero positivo mayor que 2 que satisfaga la ecuación an + bn = cn”

Donde “n” es dicho número, por supuesto. Esta conjetura fue bautizada con el nombre de “el último teorema de Fermat”, precisamente porque era la última proposición de este autor que nadie había podido refutar o verificar.

Fermat y Pitágoras

En algún punto de nuestras vidas, todos hemos usado el teorema de Pitágoras, la fórmula que relaciona la longitud de los catetos de un triángulo con la longitud de su hipotenusa. Ese es precisamente el caso del teorema de Fermat cuando n=2. Pero, en este caso, la igualdad no tiene ningún misterio, porque sabemos que se cumple para una gran cantidad de combinaciones de números distintas. Por ejemplo, sabemos que 32 + 44 = 52 (9 + 16 =25).

Pero, ¿y si n=3? ¿Existe alguna combinación de números que, elevados al cubo, la suma de dos de ellos sea igual al cubo de un tercer número? ¿Y qué pasa con los infinitos exponentes mayores que 3? Pues, según Fermat, no existiría ninguna combinación de números que cumpla esta igualdad con cualquier número entero positivo superior a 2.

Pero no basta con decir las cosas para que se hagan realidad. Las proposiciones matemáticas se tienen que poner a prueba para demostrar su validez y, en el caso de Fermat, había que comprobar si es verdad que no existe ninguna combinación que cumpla su igualdad y que, por tanto, tenía razón, o si, por el contrario, sí que existe al menos una combinación que la cumple, lo que demostraría que su afirmación era falsa. Pero, aunque el concepto pueda parecer sencillo, comprobar si Fermat tenía o no razón no era una tarea fácil.

Cómo demostrar un teorema

Básicamente, si quieres comprobar la validez de un teorema matemático de este estilo, tienes dos opciones:

1. Ir probando combinaciones de números hasta encontrar un ejemplo que lo contradiga, con lo que demostrarías con toda seguridad que la proposición de Fermat es falsa.

2. Demostrar usando la lógica matemática si, por el motivo que sea, la afirmación es verdadera o falsa.

A primera vista, podría parecer que el camino más sencillo sería encontrar un ejemplo que refute el teorema de Fermat. Pero hay tener en cuenta que, si el teorema resultara ser verdadero, entonces te pasarías toda la vida metiendo números en la fórmula sin encontrar nunca un ejemplo que lo contradijera.

Si al morir no hubieras descubierto un contraejemplo, ni siquiera demostraría nada, ya que aún faltarían un número infinito de números por probar

También podría ocurrir que el teorema fuera incorrecto y que esa combinación de números que lo contradijera sí que existiera, pero que no llegaras a encontrarla nunca porque, al fin y al cabo, no sería más que una de las infinitas combinaciones que no llegarías a probar ni aunque pases toda tu vida computando posibles soluciones con el ordenador más potente que tengas a tu disposición.

Para rematarlo, si al final de tu vida no hubieras descubierto un contraejemplo, ni siquiera demostraría nada, ya que aún te faltarían un número infinito de números con los que probar suerte.

O sea que, teniendo en cuenta estas posibles complicaciones, no es de extrañar que los matemáticos prefieran tomar la segunda ruta.

Mejor usar la lógica

Y eso es precisamente lo que hizo Andrew Wiles.

Nacido en 1953, Wiles se había encontrado por primera vez con el teorema de Fermat a los 10 años, cuando encontró un libro sobre éste en la librería mientras volvía del colegio. El teorema le fascinó porque, pese a ser tan simple que lo podía entender él mismo con 10 años, era tan complejo que nadie lo había resuelto en sus tres siglos de historia. Muchos matemáticos incluso sostenían que era imposible de resolver.

Wiles sabía que las habilidades matemáticas que tenía en ese momento no le servirían para resolver el teorema, de modo que lo olvidó hasta 1986.

El secreto para resolver este teorema estaba en la geometría, concretamente en la representación matemática de las curvas elípticas y en unas entidades matemáticas llamadas formas modulares, que son unas funciones muy simétricas y abstractas que existen en el plano de los números imaginaros (aquellos que incluyen la raíz cuadrada de -1).

El problema de las curvas modulares 'camufladas'

La cuestión es que, en 1955, dos matemáticos japoneses llamados Yutaka Tamiyama y Goro Shimura encontraron indicios de que, pese a lo distintas que resultan estas dos formas, todas las curvas elípticas eran en realidad formas modulares 'camufladas'. El problema a la hora de verificar o refutar esta conjetura es que existen infinitas curvas elípticas distintas, así que demostrar que cada una de las infinitas curvas elípticas posibles tiene asociada una forma modular parecía una tarea imposible.

Pero, en 1982, un matemático llamado Gerhard Frey propuso que una curva elíptica formada por una supuesta solución a la ecuación del teorema de Fermat, tendría esta forma…

y2 = x (x-ap) (x+bp)

...y, en teoría, esta curva elíptica no debería tener una forma modular asociada.

Obviamente, tan sólo una de las dos conjeturas podía ser cierta: o todas las curvas elípticas tienen una forma modular asociada o existía una curva elíptica, la correspondiente a la ecuación del teorema de Fermat, que no la tenía. Por tanto, descubrir qué proposición era correcta resolvería indirectamente el último teorema de Fermat: si se encontraba una manera de descubrir si cada una de las infinitas curvas elípticas posibles tiene asociada una forma modular, como Tamiyama y Shimura habían propuesto, no existiría ninguna curva elíptica correspondiente al teorema y, por tanto, se demostraría que el teorema de Fermat era cierto.

Siete años para comparar infinitas curvas

Y lo que hizo Andrew Wiles fue precisamente eso: desarrollar un método matemático que le permitiera comparar las infinitas curvas elípticas con un número infinito de formas modulares… Sin llegar a compararlas una por una, obviamente. Esta tarea le llevó nada menos que 7 años.

Wiles pasó un año trabajando en el error y cuando creía que iba a tirar la toalla consiguió solventarlo. En septiembre de 1994 terminó su prueba definitiva

En 1993 presentó su demostración que, por supuesto, tenía que pasar primero por el proceso de revisión para comprobar que todo estaba en orden. Pero, en agosto de ese mismo año, se descubrió que su demostración tenía un error en uno de sus apartados. Podéis imaginar cómo le debió sentar la noticia al pobre Wiles.

Wiles pasó un año trabajando en el error y, por suerte, cuando creía que iba a tirar la toalla consiguió solventarlo. En septiembre de 1994 terminó su prueba definitiva que hoy en día le ha valido el premio Abel de matemáticas, galardonado con 700.000$, que no está nada mal.

Fermat: un genio o un 'troll'

Conociendo el esfuerzo y la complejidad de las herramientas matemáticas que han hecho falta demostrar la conjetura de Fermat, tiene aún más cachondeo saber que, en el margen en el que Fermat apuntó su último teorema, también había escrito: “he descubierto una demostración realmente maravillosa de esto, que este margen es demasiado estrecho para contener”.

No se sabe si realmente Fermat había encontrado una solución muy sencilla y elegante a su teorema, en el que planteaba que no existía ningún exponente mayor que 2 para el que la igualdad se cumpliera. Sí que ha llegado hasta nuestros días su prueba para el caso concreto de n=4, pero de ahí a que hubiera conseguido demostrar que el teorema no se cumplía para los infinitos valores superiores a 2, hay un buen rato. De hecho, Fermat nunca más volvió a escribir sobre esa supuesta prueba tan maravillosa en los 30 años que le quedaban de vida.

¿Homer Simpson contradijo a Fermat?

La historia del teorema de Fermat se ha ganado un hueco incluso entre el público que no está muy familiarizado con las matemáticas. Tanto es así que de vez en cuando aparecen referencias a este teorema en la cultura popular y tal vez el ejemplo más curioso es el que explica Simon Singh en esta charla TEDx.

En una escena de la serie Los Simpsons, Homer aparece frente a una pizarra en la que se puede ver la fórmula:

398712 + 436512 = 447212

Que, como veis, tiene la forma del teorema de Fermat para el caso de n=12, x12 + y12 = z12. Lo curioso es que si hacéis la prueba en vuestros teléfonos o en alguna calculadora que tengáis por ahí, veréis que la igualdad se cumple… Así que Homer Simpson podría haber encontrado un ejemplo que contradice el teorema de Fermat y la demostración de Andrew Wiles, ¿no?

Pues no, Andrew puede respirar tranquilo. En realidad el efecto no es más que una ilusión. Lo que ocurre en este caso es que los números son tan tremendamente grandes que no caben en la pantalla de las calculadoras de estar por casa y, como la diferencia entre ambos es relativamente pequeña, esta diferencia queda oculta en los números que no se muestra en la pantalla. En este artículo de Gaussianos muestran los cálculos con más detalle y se puede ver que, en efecto, la igualdad no se cumple y el teorema de Fermat se sigue cumpliendo.