Karen Uhlenbeck es mucho más que "la primera mujer ganadora" del Premio Abel

Karen Uhlenbeck recibió ayer el Premio Abel "por su trabajo pionero en el campo de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales geométricas, teorías gauge y sistemas integrables”. Además, el Comité del premio ha subrayado el “impacto de su trabajo en análisis, geometría y física matemática”. Efectivamente, numerosos científicos, como Simon Donaldson y Shing-Tung Yau, ambos medallistas Fields, Nigel Hitchin o el autor de estas palabras, nos hemos nutrido de las ideas de Uhlenbeck en nuestras investigaciones.

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Uhlenbeck es una de las fundadoras del análisis geométrico, un área de las matemáticas en la que se combina el estudio de ecuaciones diferenciales con la geometría diferencial. Su trabajo a finales de la década de 1970 y comienzo de los 1980 junto a Jonathan Sacks, su compañero en la Universidad de Urbana-Champaign (EE UU), transformó completamente el campo. Los dos matemáticos estudiaron aplicaciones armónicas, es decir, aplicaciones entre dos espacios que minimizan (en un determinado sentido) la energía. También se dedicaron a las llamadas superficies minimales. Un ejemplo de estas superficies lo encontramos en las pompas de jabón, cuya disposición corresponde a la forma que minimiza su área superficial y así, la energía. Uhlenbeck y Sacks demostraron, en particular, la existencia de burbujas (bubbling) en algunos puntos de la superficie.

Por otro lado, sus estimaciones analíticas, con las que establecen cotas de determinadas funciones y sus derivadas, han resultado fundamentales para un campo situado en la frontera entre la física y las matemáticas: las teorías gauge, como la teoría de Yang-Mills. Esta teoría, propuesta en 1954 por Chen Nin Yang, premio Nobel de Física en 1957, y Robert Mills, explica las interacciones fuerte y débil a nivel atómico y nuclear. Las ecuaciones de Yang-Mills generalizan las clásicas ecuaciones de Maxwell del electromagnetismo, dando lugar al modelo estándar de la teoría cuántica de campos. El trabajo de Uhlenbeck fue clave en la demostración de la existencia de soluciones a estas ecuaciones.

En particular, las investigaciones de Uhlenbeck han resultado fundamentales en el estudio del espacio de moduli de ciertas soluciones a las ecuaciones de Yang-Mills en espacios de dimensión cuatro, los instantones. El espacio de moduli permite clasificar y entender estructuras geométricas o soluciones de ecuaciones de un determinado tipo (en este caso, los instantones). Una de las propiedades deseadas de estos espacios es la compacidad, que es, de alguna manera, una generalización de la finitud: un disco plano es un espacio compacto, en contraste con el plano que no lo es. Es necesario que los espacios de moduli sean compactos para poder controlar su geometría, y garantizar que no haya partes del espacio que se vayan al infinito.

En general, el espacio de moduli de los instantones es no compacto, por lo que es interesante encontrar un espacio que lo contenga, y sí lo sea (la llamada compactificación). El trabajo de la matemática en este campo dio lugar a la denominada compactificación de Uhlenbeck del espacio de instantones, que permitió a Simon Donaldson definir sus famosos invariantes para espacios de dimensión 4. Donaldson ideó estos invariantes algunos años después de haber obtenido la Medalla Fields (en 1986) por su trabajo en variedades de dimensión 4, fundamentado también en el trabajo de Uhlenbeck.

El trabajo de Uhlenbeck también ha sido esencial en la teoría de Hitchin de los llamados fibrados de Higgs, así como en otras teorías de Yang-Mills-Higgs, que incluyen un campo de Higgs, como la teoría de monopolos y vórtices, permitiendo demostrar la existencia de soluciones a las correspondientes ecuaciones.

En 1987 en colaboración con Shing-Tung Yau (Medalla Fields en 1982) demostró la famosa conjetura de Hitchin-Kobayashi, para cierto tipo de espacios, con una estructura modelada sobre los números complejos –denominados de Kaehler– de cualquier dimensión. Esta conjetura conecta conceptos de geometría diferencial con otros de geometría algebraica, en particular las denominadas conexiones de Hermite-Yang-Mills con la noción de estabilidad, en el sentido de la teoría geométrica de invariantes de Mumford (quien, también obtuvo la Medalla Fields en 1974). Esta conjetura había sido enunciada independientemente por el matemático inglés Nigel Hitchin y el japonés Shoshichi Kobayashi a finales de los años 1970, como una generalización para dimensión superior del célebre teorema de Narasimhan-Seshadri (1965) en dimensión compleja 1. La conjetura de Hitchin-Kobayashi fue demostrada inicialmente para superficies complejas por Simon Donaldson; pero fueron Uhlenbeck y Yau quienes lo probaron para cualquier dimensión. Donaldson posteriormente lo demostró para espacios algebraicos de dimensión arbitraria.

Fueron Uhlenbeck y Yau quienes probaron la conjetura de Hitchin-Kobayashipara cualquier dimensión

El resultado es un teorema fundamental en geometría compleja, que se conoce en la actualidad como el teorema de Donaldson-Uhlenbeck-Yau, y que ha sido la base para multitud de desarrollos posteriores en la interfaz entre geometría algebraica, geometría diferencial y física matemática. En particular, esta es una de las temáticas centrales del Laboratorio Donaldson-Hitchin del ICMAT (Madrid), coordinado por el autor de esta nota, en cuyo contexto seguimos trabajando, en particular, en colaboración con descendientes matemáticos de Karen Uhlenbeck, como su antiguo estudiante de doctorado Steven Bradlow de la Universidad de Illinois en Urbana-Champaign.

Óscar García-Prada es doctor en matemáticas por la Universidad de Oxford y actualmente investigador del CSIC en el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT)